Este curso muestra las diferentes técnicas que permiten resolver problemas numéricos de forma aproximada. Muchos problemas computacionales requieren resolver problemas matemáticos tales como derivación, integración y ecuaciones diferenciales. Para estos problemas a veces no existe una solución teórica analítica, por lo que la aproximación numérica es la única forma viable. Se estudian los fundamentos teóricos de estas técnicas, entre ellos el error inducido por los métodos aproximados y por la aritmética de precisión finita, y se compara el desempeño de los métodos implementados de forma serial y paralela.
El objetivo general del curso es que el estudiante aprenda sobre métodos para resolver problemas numéricos de forma aproximada y que comprenda la importancia que esto tiene cuando no es posible o práctico encontrar soluciones exactas.
Durante este curso el estudiante desarrollará habilidades para:
- Entender los fundamentos teóricos y limitaciones de los métodos numéricos, para resolver problemas computacionales.
- Estimar el error causado por un método numérico y por la aritmética de precisión finita, para determinar la calidad de la solución.
- Escoger el método numérico más apropiado para resolver un problema dado, comparando la eficiencia y exactitud de distintos métodos, tanto de forma teórica como práctica, y de forma serial y paralela.
- Resolver problemas de cálculo numérico usando lenguajes de programación y herramientas computacionales.
| Objetivo específico | Eje temático | Desglose |
|---|---|---|
| 1, 2, 4 |
Aritmética de precisión finita | Error inherente al método y error causado por la precisión finita. Punto flotante. Error absoluto, error relativo, dígitos significativos. Operaciones aritméticas. Propagación del error. Aritmética de intervalos. |
| 1, 2, 3, 4 |
Algoritmos para calcular vectores y valores propios | Método de potencias. Método de Householder. Algoritmo QR. |
| 1, 2, 3, 4 |
Solución numérica de ecuaciones no lineales | Método de bisección, regla falsa y secante. Método de punto fijo. Método de Newton-Raphson. Aceleración de convergencia, método de Steffensen. |
| 1,2, 3, 4 |
Solución numérica de sistemas de ecuaciones lineales | Métodos directos: eliminación gaussiana y factorización LU. Matrices tridiagonales: algoritmo de Thomas. Normas de vectores y matrices. Métodos iterativos: Jacobi, Gauss-Seidel y métodos de relaxación. Métodos Iterativos tipo Richardson: gradiente y gradiente precondicionado. |
1, 2, 3, 4 |
Aproximación de curvas mediante polinomios y segmentos de polinomios | Interpolación de Lagrange, método de Newton. Método de Neville. Interpolación de Hermite. Interpolación cúbica segmentaria. Interpolación paramétrica. Aproximación por mínimos cuadrados. |
1, 2, 3, 4 |
Diferenciación e integración numérica | Diferenciación numérica, fórmulas de 3 a 8 puntos de Newton. Extrapolación de Richardson. Métodos básicos de integración numérica: punto medio, regla del rectángulo, trapecio, Simpson. Cuadraturas gaussianas. Integración numérica compuesta. Integración de Romberg. |
| 1, 2, 3, 4 | Métodos numéricos para problemas de valor inicial | Métodos numéricos para problemas de valor inicial & Métodos de Taylor de orden superior. Métodos Euler, Euler modificado y Runge-Kutta. Interpolación de las soluciones. Fórmulas multi-paso. Predictor-corrector. Métodos de Adams-Moulton y Adams-Bashforth. |
[1] E. K. Blum. ((Numerical analysis and computation theory and practice)). Addison Wesley (1972).
[2] R. Burden y J. Faires. ((Numerical Analysis)). Cengage Learning (2004).
[3] E. Isaacson y H.B. Keller. ((Analysis of Numerical Methods)). Dover (1994).
[4] C. Pozrikidis. ((Numerical Computation in Science and Engineering)). Oxford University Press (1998).
Este no es un documento oficial. Documentos oficiales se entregan en la secretaría de la escuela.